Квадратные уравнения – это одно из основных понятий в алгебре, с которыми сталкивается каждый школьник. Они имеют вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты, а x – неизвестная переменная. Их решение может быть полезно в различных областях науки и инженерии. Поэтому важно знать, как решать квадратные уравнения с положительным дискриминантом.
Дискриминант – это число, которое определяется по формуле D = b^2 — 4ac. Он помогает определить тип решений квадратного уравнения. Если D > 0, то у уравнения есть два различных вещественных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.
Как же решить квадратное уравнение с положительным дискриминантом? В этом случае можно воспользоваться формулой корней:
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)
x2 = (-b — sqrt(D)) / (2a)
Где sqrt(D) – квадратный корень из дискриминанта. Зная значения коэффициентов a, b и c, вы можете подставить их в формулу и вычислить значения корней. Таким образом, вы сможете найти решение квадратного уравнения с положительным дискриминантом.
Как решить квадратное уравнение с положительным дискриминантом
Квадратные уравнения с положительным дискриминантом имеют два различных рациональных корня. Для их нахождения можно использовать формулу дискриминанта. Давайте рассмотрим шаги для решения такого уравнения:
Шаг 1: Запишите квадратное уравнение в общем виде, где a, b и c — коэффициенты:
ax2 + bx + c = 0
Шаг 2: Рассчитайте дискриминант по формуле:
D = b2 — 4ac
Шаг 3: Проверьте значение дискриминанта. Если D > 0, продолжайте решение. Если D ≤ 0, это означает, что квадратное уравнение не имеет рациональных корней.
Шаг 4: Рассчитайте значения корней по формуле:
x1 = (-b + √D) / 2a
x2 = (-b — √D) / 2a
Шаг 5: Запишите полученные значения корней и убедитесь, что они различны.
Теперь вы знаете, как решить квадратное уравнение с положительным дискриминантом! Помните, что эта методика применима только к уравнениям с положительным значением дискриминанта. Если дискриминант равен нулю или отрицательному числу, то решение требует других подходов.
Определение квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0,
где a, b и c – это коэффициенты, которые могут быть любыми числами, но коэффициент a не равен нулю.
Квадратное уравнение имеет в своей структуре переменную второй степени, выраженную через коэффициент a. Коэффициенты b и c влияют на линейную и свободную составляющие уравнения соответственно.
Формула дискриминанта
Формула дискриминанта имеет вид:
D = b2 — 4ac
где:
- D — дискриминант
- b — коэффициент при переменной второй степени
- a и c — коэффициенты при переменных первой и нулевой степеней соответственно
Для решения квадратного уравнения с положительным дискриминантом необходимо рассмотреть следующие случаи:
Значение дискриминанта | Тип корней уравнения |
---|---|
D > 0 | Два различных вещественных корня |
D = 0 | Один вещественный корень |
D < 0 | Нет вещественных корней |
При решении квадратных уравнений с положительным дискриминантом необходимо использовать найденное значение дискриминанта, чтобы найти значения корней уравнения. Формула для нахождения корней имеет вид:
x1,2 = (-b ± √D) / (2a)
где:
- x1,2 — значения корней уравнения
- ± — знаки «плюс» и «минус»
Использование формулы дискриминанта позволяет определить количество и тип корней квадратного уравнения с положительным дискриминантом. Это важный шаг в решении квадратных уравнений, который позволяет получить точные значения корней.
Разбор случая положительного дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле: D = b^2 — 4ac.
Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня.
Чтобы найти эти корни, необходимо использовать формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Сначала вычислим корень с положительным знаком: x1 = (-b + √D) / 2a.
Затем вычислим корень с отрицательным знаком: x2 = (-b — √D) / 2a.
Таким образом, квадратное уравнение с положительным дискриминантом имеет два различных корня.
Нахождение корней квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0,
где a, b и c – коэффициенты уравнения, и x – неизвестная переменная. Чтобы найти корни квадратного уравнения, необходимо выполнить следующие шаги:
- Вычислить дискриминант уравнения, который определяется по формуле D = b2 — 4ac.
- Если дискриминант положительный, то уравнение имеет два различных вещественных корня:
- Первый корень вычисляется по формуле x1 = (-b + √D) / (2a).
- Второй корень вычисляется по формуле x2 = (-b — √D) / (2a).
- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один вещественный корень. Он вычисляется по формуле x = -b / (2a).
- Если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет вещественных корней. Вместо этого, корни будут комплексными числами.
Найденные значения корней квадратного уравнения позволяют найти точки пересечения его графика с осью x и решить задачи, связанные с нахождением значений переменной x.
Примеры решения квадратных уравнений с положительным дискриминантом
Рассмотрим несколько примеров решения квадратных уравнений с положительным дискриминантом:
Пример 1:
Дано квадратное уравнение: x2 — 6x + 5= 0.
Дискриминант вычисляется по формуле: D = b2 — 4ac.
Подставляем значения коэффициентов a = 1, b = -6, c = 5 в формулу: D = (-6)2 — 4 * 1 * 5 = 36 — 20 = 16.
Так как дискриминант D равен 16 и положительный, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Разложим уравнение на множители: (x — 1)(x — 5) = 0.
Таким образом, решения уравнения: x = 1 и x = 5.
Пример 2:
Дано квадратное уравнение: 2x2 + 5x — 3 = 0.
Вычисляем дискриминант по формуле: D = b2 — 4ac.
Подставляем значения коэффициентов a = 2, b = 5, c = -3 в формулу: D = (5)2 — 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49.
Так как дискриминант D равен 49 и положительный, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Применяем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a.
Подставляем значения коэффициентов и дискриминанта в формулу: x = (-5 ± √49) / 2 * 2.
Раскрываем скобки и находим значения корней: x1 = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 1/2; x2 = (-5 — 7) / 4 = -12/4 = -3.
Таким образом, решения уравнения: x = 1/2 и x = -3.
Пример 3:
Дано квадратное уравнение: 3x2 — 4x + 1 = 0.
Вычисляем дискриминант по формуле: D = b2 — 4ac.
Подставляем значения коэффициентов a = 3, b = -4, c = 1 в формулу: D = (-4)2 — 4 * 3 * 1 = 16 — 12 = 4.
Так как дискриминант D равен 4 и положительный, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Применяем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a.
Подставляем значения коэффициентов и дискриминанта в формулу: x = (4 ± √4) / 2 * 3.
Раскрываем скобки и находим значения корней: x1 = (4 + 2) / 6 = 6/6 = 1; x2 = (4 — 2) / 6 = 2/6 = 1/3.
Таким образом, решения уравнения: x = 1 и x = 1/3.