Количество корней уравнения, когда дискриминант равен нулю

Квадратное уравнение – это уравнение, содержащее одно слагаемое с переменной второй степени, и представляющее собой параболу на координатной плоскости. Изучение корней квадратного уравнения является одной из важнейших задач алгебры. Оно находит свое применение в различных областях науки и техники.

Дискриминант квадратного уравнения – это число, которое позволяет определить количество и значения корней. Если дискриминант положителен, то у уравнения два различных корня. В случае, когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, который называется кратным.

Корень квадратного уравнения при дискриминанте равном нулю можно найти с использованием теоремы Виета, которая связывает коэффициенты уравнения и его корни. Если уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, то теорема Виета утверждает, что сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Что такое корни квадратного уравнения?

Для нахождения корней квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта – D = b^2 — 4ac. Значение дискриминанта позволяет определить тип корней и их количество:

  • Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
  • Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень, который является дважды кратным.
  • Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

Корни квадратного уравнения могут быть положительными или отрицательными в зависимости от значений коэффициентов и формы уравнения. Знание корней квадратного уравнения является важным для решения различных математических задач и применения в реальной жизни.

Квадратное уравнение и его структура

Структура квадратного уравнения:

  • Коэффициент a, который является коэффициентом при квадрате переменной.
  • Коэффициент b, который умножается на переменную.
  • Коэффициент c, который представляет свободный член, не содержащий переменную.

Квадратное уравнение может иметь разное количество решений в зависимости от значения дискриминанта, который вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

Дискриминант и его значение в квадратном уравнении

Значение дискриминанта может быть положительным, отрицательным или равным нулю, и оно указывает на особенности корней квадратного уравнения:

  • Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня;
  • Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней, только комплексные;
  • Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень, причем этот корень является двукратным.

Знание значения дискриминанта позволяет предсказывать характер решений квадратного уравнения до его фактического вычисления. Это облегчает решение уравнений и позволяет избежать ненужных вычислений, если известно, что корни отсутствуют или являются комплексными.

Когда дискриминант равен нулю?

  • Когда квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c — коэффициенты;
  • Когда дискриминант D = b^2 — 4ac равен нулю;
  • Когда квадратное уравнение имеет один корень, т.е. имеет вид (x — p)^2 = 0, где p — вещественное число.

В данном случае, решение такого уравнения будет иметь вид x = p, где p — вещественное число.

Когда дискриминант равен нулю, это значит, что уравнение имеет один корень с кратностью 2, т.е. этот корень является удваиваемым корнем. Такое явление возникает, когда фактически два корня уравнения сливаются в один. Это может быть полезным при решении практических задач или в математических моделях, где требуется получить каждое значение только один раз.

Случаи, когда дискриминант равен нулю

Для квадратного уравнения в общем виде ax^2 + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле:

D = b^2 — 4ac

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Это происходит в двух случаях:

1. Когда вершина параболы находится на оси абсцисс.

Если вершина параболы, описываемой квадратным уравнением, лежит на оси абсцисс, то это означает, что у уравнения есть один корень, который совпадает с координатой вершины. В этом случае, если дискриминант равен нулю, уравнение может быть представлено в виде: ax^2 + bx = 0.

2. Когда оба корня уравнения совпадают.

Если дискриминант равен нулю и не существует вершины на оси абсцисс, то это означает, что уравнение имеет два корня, которые совпадают. В этом случае уравнение может быть представлено в виде: x = -b/2a.

Итак, случаи, когда дискриминант равен нулю, соответствуют ситуациям, когда у квадратного уравнения есть только один корень или оба корня совпадают. В этих случаях особые свойства уравнения позволяют нам упростить его решение и получить конкретные значения корней.

Примеры решения квадратного уравнения с нулевым дискриминантом

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то это означает, что уравнение имеет ровно один корень. Формула для вычисления дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом:

D = b^2 — 4ac

Для нахождения корня квадратного уравнения при нулевом дискриминанте можно воспользоваться следующими шагами:

  1. Раскрываем скобки и приводим подобные члены в уравнении.
  2. Решаем полученное линейное уравнение bx + c = 0 относительно x.
  3. Полученное значение x является единственным корнем квадратного уравнения.

Давайте рассмотрим несколько примеров решения квадратных уравнений с нулевым дискриминантом:

  • x^2 + 4x + 4 = 0
  • В данном случае, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, получаем уравнение x^2 + 4x + 4 = 0. Оно уже находится в канонической форме. Далее, решаем полученное линейное уравнение 4x + 4 = 0 относительно x. Вычитая 4 из обеих частей уравнения, получаем 4x = -4. Делим обе части уравнения на 4, что приводит к решению x = -1. Таким образом, корень квадратного уравнения равен -1.

  • 2x^2 — 6x + 4 = 0
  • В данном случае также раскрываем скобки и приводим подобные члены. Получаем уравнение 2x^2 — 6x + 4 = 0. Решаем полученное линейное уравнение -6x + 4 = 0 относительно x. Из уравнения выражаем x в виде x = 4/6 = 2/3. Таким образом, корень квадратного уравнения равен 2/3.

  • 3x^2 — 6x + 3 = 0
  • По аналогии с предыдущими примерами, раскрываем скобки и приводим подобные члены. Получаем уравнение 3x^2 — 6x + 3 = 0. Затем решаем полученное линейное уравнение -6x + 3 = 0 относительно x. Из уравнения выражаем x в виде x = 3/6 = 1/2. Таким образом, корень квадратного уравнения равен 1/2.

Таким образом, решение квадратного уравнения с нулевым дискриминантом сводится к нахождению значения переменной x при условии, что левая и правая части уравнения равны между собой.

Графическое представление корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения можно графически представить на координатной плоскости. Для этого необходимо построить график функции, заданной квадратным уравнением.

Если дискриминант уравнения равен нулю, то уравнение имеет один корень. График функции будет представлять собой параллельную оси OX прямую, которая будет касаться оси OX в точке корня уравнения.

Если дискриминант уравнения больше нуля, то уравнение имеет два различных корня. График функции будет представлять собой параболу, которая пересекает ось OX в двух точках — корнях уравнения.

Если дискриминант уравнения меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней. График функции не будет пересекать ось OX.

Графическое представление корней квадратного уравнения помогает наглядно представить решения уравнения и легче понять, сколько корней имеет уравнение и как они расположены на координатной плоскости.

Оцените статью
pastguru.ru