Одной из важных операций в алгебре является возведение в степень. При этом у нас возникает еще одна интересная ситуация — деление степени на степень. Как правильно выполнить такую операцию? В этой статье мы рассмотрим правило и приведем несколько примеров.
Когда мы делим одну степень на другую, мы оказываемся в ситуации, где требуется применить некоторые свойства степеней. Основное правило здесь состоит в том, что при делении степени на степень с одинаковым основанием производится вычитание показателей.
Применим это правило на практике. Рассмотрим пример: a^m / a^n, где a — основание, m и n — показатели. Тогда результат этого деления будет равен a^(m-n). Например, 2^5 / 2^3 = 2^(5-3) = 2^2 = 4.
Правила деления степени на степень
При делении степени на степень с одинаковым основанием применяется следующее правило:
- Основания степеней остаются неизменными.
- Степени с одинаковым основанием вычитаются.
Ниже приведены примеры, иллюстрирующие правило деления степени на степень:
- $$a^m \div a^n = a^{m-n}$$
- $$4^3 \div 4^2 = 4^{3-2} = 4^1 = 4$$
- $$x^5 \div x^3 = x^{5-3} = x^2$$
- $$y^2 \div y^4 = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$$
Как видно из примеров, при делении степени на степень с одинаковым основанием, степень в числителе вычитается из степени в знаменателе.
Таким образом, правило деления степени на степень позволяет упростить выражения, содержащие степени с одинаковым основанием.
Правило деления степени на степень
Правило деления степени на степень применяется при выполнении математических операций с степенями, когда необходимо разделить одну степень на другую.
Для выполнения деления степени на степень необходимо вычислить численное значение каждой степени и затем разделить результаты. Знаменатель и делимое должны быть одной и той же основой.
Формула для деления степени на степень:
am ÷ an = am-n
Здесь a — основа степени, m — показатель степени числителя, n — показатель степени знаменателя.
Давайте рассмотрим пример для наглядного объяснения:
53 ÷ 52 = 53-2 = 51 = 5
В этом примере мы делим степень 5 в третьей степени на степень 5 во второй степени. По формуле получаем 5 в первой степени, то есть просто 5.
Таким образом, при выполнении операции деления степени на степень, показатель степени числителя вычитается из показателя степени знаменателя и получается степень с той же основой.
Примеры деления степени на степень
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих правило деления степени на степень.
Пример 1:
Дано: \(3^4 : 3^2\)
Решение: По правилу деления степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели степени:
\(3^4 : 3^2 = 3^{4-2} = 3^2 = 9\)
Пример 2:
Дано: \((5^3)^2 : 5^3\)
Решение: По правилу деления степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели степени:
\((5^3)^2 : 5^3 = 5^{3 \cdot 2 — 3} = 5^3 = 125\)
Пример 3:
Дано: \((2^2 \cdot 3^5)^3 : (2^4 \cdot 3^2)\)
Решение: По правилу деления степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели степени:
\((2^2 \cdot 3^5)^3 : (2^4 \cdot 3^2) = 2^{2 \cdot 3 — 4} \cdot 3^{5 \cdot 3 — 2} = 2^{6-4} \cdot 3^{15-2} = 2^2 \cdot 3^{13} = 4 \cdot 1 594 323 = 6 377 292\)
Пример 4:
Дано: \((x^2y^3)^4 : (x^3y^2)^2\)
Решение: По правилу деления степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели степени:
\((x^2y^3)^4 : (x^3y^2)^2 = x^{2 \cdot 4 — 3 \cdot 2} \cdot y^{3 \cdot 4 — 2 \cdot 2} = x^{8-6} \cdot y^{12-4} = x^2 \cdot y^8\)
Это были примеры деления степени на степень, использующие правило вычитания показателей степени. Помните, что правила деления степеней помогают упростить выражения и найти численное значение степени.